Question

20．已知關(guān)于x的方程x²-（2m+1）x+m2+m=0．
（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根．

Answer 1

分析 （1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則應(yīng)有△=b²-4ac＞0，故計(jì)算方程的根的判別式即可證明方程根的情況；
（2）直接代入x=1，求得m的值后，解方程即可求得另一個(gè)根．

解答 證明：（1）∵a=1，b=-（2m+1），c=m²+m，
∴△=[-（2m+1）]²-4×1×（m²+m）=1，
∴△＞0，
∴關(guān)于x的方程x²-（2m+1）x+m²+m=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）把x=1代入原方程得，1-（2m+1）+m²+m=0，
解得m=0或1，
當(dāng)m=0時(shí)，原方程化為x²-x=0，
解得：x₁=0，x₂=1，即另一個(gè)根為x=0；
當(dāng)m=1時(shí)，原方程化為x²-3x+2=0，
解得：x₁=2，x₂=1，即另一個(gè)根為x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的解法．