Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值．

Answer 1

分析 作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD交OB于P，連接AP，過(guò)D作DN⊥OA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根據(jù)勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答 解：作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD交OB于P，連接AP，過(guò)D作DN⊥OA于N，
則此時(shí)PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3，$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{3}$，OA=3，
∵tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∴OB=2AB=2$\sqrt{3}$，
由三角形面積公式得：$\frac{1}{2}$×OA×AB=$\frac{1}{2}$×OB×AM，
∴AM=$\frac{3}{2}$，
∴AD=2×$\frac{3}{2}$=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$，由勾股定理得：DN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵C（$\frac{1}{2}$，0），
∴CN=3-$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，
即PA+PC的最小值是$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的位置，題目比較好，難度適中．