Question

3．如圖，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，點(diǎn)P是EC（包括E、C）上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線分別交BC、AD于點(diǎn)F、G，設(shè)BP=x，AG=y．
（1）四邊形AFPG是什么圖形？請說明理由；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如果分別以線段GP、DC為直徑作圓，且使兩圓外切，求x的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△AOG≌△POF，即可判斷出OG=OF；然后判斷出AP、GF互相垂直平分，即可推得四邊形AFPG是菱形．
（2）首先根據(jù)四邊形AFPG是菱形，可得AF=PF=AG=y；然后根據(jù)BF=BP-PF=x-y，在Rt△ABF中，應(yīng)用勾股定理，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可．
（3）首先設(shè)以線段GP、DC為直徑的圓的圓心分別是點(diǎn)M、N，則MN∥AD∥BC，據(jù)此求出MN的值是多少；然后判斷出以線段GP、DC為直徑的圓的半徑分別是$\frac{x}{2}$、1，再根據(jù)兩圓外切，可得MN=$\frac{x}{2}$+1，據(jù)此求出x的值是多少即可．

解答 解：（1）四邊形AFPG是菱形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAG=∠OPF，
∵FG是線段AP的垂直平分線，
∴AO=PO，∠AOG=∠POF=90°，
在△AOG和△POF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAG=∠OPF}\\{AO=PO}\\{∠AOG=∠POF}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△POF，
∴OG=OF，
∴AP、GF互相垂直平分，
∴四邊形AFPG是菱形．

（2）∵四邊形AFPG是菱形，
∴AF=PF=AG=y，
又∵BP=x，
∴BF=BP-PF=x-y，
在Rt△ABF中，
BF²=AF²-AB²=y²-2²=（x-y）²，
整理，可得y=$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$．

（3）如圖1，
，
設(shè)以線段GP、DC為直徑的圓的圓心分別是點(diǎn)M、N，
則MN∥AD∥BC，
∴MN=$\frac{1}{2}（GD+PC）$=$\frac{1}{2}$[（7-x）+（7-$\frac{x}{2}$-$\frac{2}{x}$）]=7-$\frac{3}{4}x$-$\frac{1}{x}$，
∵GP=x，CD=2，
∴以線段GP、DC為直徑的圓的半徑分別是$\frac{x}{2}$、1，
當(dāng)以線段GP、DC為直徑的兩圓外切時(shí)，
7-$\frac{3}{4}x$-$\frac{1}{x}$=$\frac{x}{2}$+1，
整理，可得
$\frac{5}{4}x+\frac{1}{x}-6=0$，
解得x=$\frac{12+2\sqrt{31}}{5}$或x=$\frac{12-2\sqrt{31}}{5}$，
∵$\frac{12-2\sqrt{31}}{5}$＜1，
∴x=$\frac{12-2\sqrt{31}}{5}$不符合題意，
∴x=$\frac{12+2\sqrt{31}}{5}$．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了四邊形綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了空間想象的能力的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．②判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．③判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．④判定定理4：AAS--兩角及其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．
（3）此題還考查了菱形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等； ③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．