Question

直線MN與x軸、y軸分別交于點M、N，并且經(jīng)過第二、三、四象限，與反比例函數(shù)y=

k

x

（k＜0）的圖象交于點A、B，過A、B兩點分別向x軸、y軸作垂線，垂足為C、D、E、F，AD與BF交于G點．
（1）比較大小：S_矩形ACOD

 

S_矩形BEOF（填“＞，=，＜”）．
（2）求證：①AG•GE=BF•BG；②AM=BN；
（3）若直線AB的解析式為y=-2x-2，且AB=3MN，則k的值為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義即可作出判斷；
（2）設A的橫坐標是a，B的橫坐標是b，分別代入y=

k

x

，則A的坐標是（a，

k

a

），B的坐標是（b，

k

b

），利用a、b表示出AG、GE、BF、BG的長，即可證得①；
求得直線AB的解析式，即可求得M的坐標，即可證明CM=BF，即可證得△ACM≌△NFB，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可證得；
（3）根據(jù)AM=BN，且AB=3MN，可以得到AM=BN=MN，則OF=2ON，OM=BF，在y=-2x-2中，求得M、N的坐標，即可求得B的坐標，代入反比例函數(shù)解析式即可求得k的值．

解答：解：（1）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得：S_矩形ACOD=S_矩形BEOF=|k|．
故答案是：=；

（2）①設A的橫坐標是a，B的橫坐標是b，分別代入y=

k

x

，則A的坐標是（a，

k

a

），B的坐標是（b，

k

b

），
則AG=b-a，GE=

k

a

，BF=b，BG=

k

a

-

k

b

，
則AG•GE=（b-a）•

k

a

=

k(b-a)

a

，
BF•BG=b（

k

a

-

k

b

）=

k(b-a)

a

，
∴AG•GE=BF•BG；
②設過A、B的直線的解析式是y=mx+n，則

ma+n= k a bm+n= k b

，
解得：

m=- k ab n= (a+b)k ab

，
則函數(shù)的解析式是：y=-

k

ab

x+

(a+b)k

ab

，
令y=0，解得：x=a+b，
則M的橫坐標是a+b，
∴CM=a+b-a=b，
∴CM=BF，
則△ACM≌△NFB，
∴AM=BN；

（3）∵AM=BN，且AB=3MN，
∴AM=BN=MN，
∴ON=NF，
在y=-2x-2中，令x=0，解得：y=-2，
則ON=2，
令y=0，解得：x=-1，則OM=1，
∴OF=2ON=4，OM=BF=1
∴B的坐標是（1，-4），
把（1，-4）代入y=

k

x

中，得：k=-4，
故答案是：-4．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）中求直線AB的解析式是本題的關鍵．