Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，由∠ACB=90°，AC=3，BC=4，可求得AB的長(zhǎng)，又由直角三角形斜邊上的高等于兩直角邊乘積除以斜邊，即可求得CE的長(zhǎng)，由勾股定理求得AE的長(zhǎng)，然后由垂徑定理求得AD的長(zhǎng)．

解答 解：過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，
則AE=DE，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴AD=2AE=$\frac{18}{5}$，
故答案為$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．