Question

5．△ABC中，AB=AC，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AC上的動(dòng)點(diǎn)，EF=$\frac{1}{2}$AC．
（1）若BF⊥AC，求證：CF•CA=$\frac{1}{2}$BC²；
（2）若BF⊥AC，tan∠CBF=$\frac{1}{3}$，求$\frac{DE}{EF}$的值；
（3）ED，F(xiàn)B的延長線交于點(diǎn)G，GH∥BC交AC的延長線于H，求證：EF=FH

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AH⊥BC于H，HN⊥AC于N．只要證明△HCN∽△ACH，可得$\frac{CH}{AC}$=$\frac{CN}{CH}$，推出CH²=CN•CA，再證明CH=$\frac{1}{2}$BC，CN=$\frac{1}{2}$CF，代入即可解決問題；
（2）如圖2中，作DH⊥AC于H，設(shè)CF=a．在Rt△DEH中，求出DE（用a的代數(shù)式表示）即可解決問題；
（3）如圖3中，作BM∥AC交EG于M，取AC中點(diǎn)N，連接DN，NM．首先證明四邊形MNFB是平行四邊形，推出MN=BF，MN∥FG，推出$\frac{EN}{EF}$=$\frac{MN}{FG}$=$\frac{BF}{FG}$，由BC∥GH，推出$\frac{BF}{FG}$=$\frac{FC}{FH}$，推出$\frac{EN}{EF}$=$\frac{FC}{FH}$，再證明EN=CF，即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，作AH⊥BC于H，HN⊥AC于N．

∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，∠AHC=∠HNC=90°，
∵∠HCN=∠GCA，
∴△HCN∽△ACH，
∴$\frac{CH}{AC}$=$\frac{CN}{CH}$，
∴CH²=CN•CA，
∵HN∥BF，HB=HC，
∴NC=FN，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC，CN=$\frac{1}{2}$CF，
∴（$\frac{1}{2}$BC）²=$\frac{1}{2}$•CF•AC，
∴CF•CA=$\frac{1}{2}$BC²．

（2）解：如圖2中，作DH⊥AC于H，設(shè)CF=a．

在Rt△BCF中，∵tan∠CBF=$\frac{1}{3}$，CF=a，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{3}$，BF=3a，
BC²=CF²+BF²=10a²，
∵∴CF•CA=$\frac{1}{2}$BC²，
∴AC=5a，
∴AB=AC=5a，AF=4a，
∵AD=DB，DH∥BF，
∴AH=HF=2a，
∵EF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$a，
∴DH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$a，EH=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△DEH中，DE=$\sqrt{E{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}+（\frac{3}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

（3）證明：如圖3中，作BM∥AC交EG于M，取AC中點(diǎn)N，連接DN，NM．

∵AD=DB，∠ADE=∠MDB，∠A=∠MBD，
∴△ADE≌△BDM，
∴AE=BM，
∵EF=AN=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=FN，
∴BM=FN，BM∥FN，
∴四邊形MNFB是平行四邊形，MN=BF，
∴MN∥FG，
∴$\frac{EN}{EF}$=$\frac{MN}{FG}$=$\frac{BF}{FG}$，
∵BC∥GH，
∴$\frac{BF}{FG}$=$\frac{FC}{FH}$，
∴$\frac{EN}{EF}$=$\frac{FC}{FH}$，
∵EF=NC，
∴EN=CF，
∴EF=FH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．