Question

10．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D的直線分別交AB，AC的延長線于點E，F，AF⊥EF．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）小強同學通過探究發(fā)現：AF+CF=2AO，請你幫助小強同學證明這一結論．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，利用平行線的判定證明OD∥AF，加上AF⊥EF，則OD⊥EF，于是根據切線的判定定理可判斷EF是⊙O的切線；
（2）連接CD、BD，作DH⊥AB于H，如圖，先利用角平分線的性質得到DF=DH，再證明Rt△ADF≌△ADH得到AF=AH，證明Rt△DCF≌Rt△DBH得到CF=BH，所以AF+CF=AH+BH=AB=2OA．

解答 證明：（1）連接OD，如圖，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AF，
而AF⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；

（2）連接CD、BD，作DH⊥AB于H，如圖，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AF，DH⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和△ADH中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DF=DH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌△ADH，
∴AF=AH，
∵∠BAD=∠DAC，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴CD=BD，
在Rt△DCF和Rt△DBH中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{DF=DH}\end{array}\right.$，
∴Rt△DCF≌Rt△DBH，
∴CF=BH，
∴AF+CF=AH+BH=AB=2OA．

點評 本題考查了切線的判定與性質：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常�！坝龅角悬c連圓心得半徑”．也考查了圓周角定理和全等三角形的判定與性質．