Question

19．已知：如圖，拋物線y=ax²+x+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）．
（1）試確定該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知點(diǎn)C是該拋物線的頂點(diǎn)，求△OBC的面積；
（3）若點(diǎn)P是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，求OP的最小值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、c的方程組，從而可求得a、c的值，故此可得到拋物線的解析式；
（2）先利用配方法求拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后依據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)OP⊥BC，即OP是BC邊上的高時(shí)，OP的值最�。�利用兩點(diǎn)間的距離公式求出BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出OP即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+x+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1+c=0}\\{9a+3+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$．

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，
∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（3）當(dāng)OP是BC邊上的高時(shí)，OP的值最小．
∵B（3，0），C（1，2），
∴BC=$\sqrt{（1-3）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OP=3，
∴OP=$\frac{6}{BC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即OP的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，垂線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，正確求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．