Question

1．如圖，過銳角△ABC的頂點(diǎn)A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．在AF上取點(diǎn)M，使得AM=$\frac{1}{3}$AF，連接CM并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)H．若AC=2，△AMH的面積是$\frac{1}{12}$，則$\frac{1}{tan∠ACH}$的值是8-$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)H作HG⊥AC于點(diǎn)G，由于AF平分∠CAE，DE∥BF，∠HAF=∠AFC=∠CAF，從而AC=CF=2，利用△AHM∽△FCM，$\frac{AM}{MF}$=$\frac{AH}{CF}$，從而可求出AH=1，利用△AMH的面積是$\frac{1}{12}$，從而可求出HG，利用勾股定理即可求出CG的長(zhǎng)度，所以$\frac{1}{tan∠ACH}$=$\frac{CG}{HG}$．

解答 解：過點(diǎn)H作HG⊥AC于點(diǎn)G，
∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，
∴AC=CF=2，
∵AM=$\frac{1}{3}$AF，
∴$\frac{AM}{MF}$=$\frac{1}{2}$，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴$\frac{AM}{MF}$=$\frac{AH}{CF}$，
∴AH=1，
設(shè)△AHM中，AH邊上的高為m，
△FCM中CF邊上的高為n，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{AM}{MF}$=$\frac{1}{2}$，
∵△AMH的面積為：$\frac{1}{12}$，
∴$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{2}$AH•m
∴m=$\frac{1}{6}$，
∴n=$\frac{1}{3}$，
設(shè)△AHC的面積為S，
∴$\frac{S}{{S}_{△AHM}}$=$\frac{m+n}{m}$=3，
∴S=3S_△AHM=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$AC•HG=$\frac{1}{4}$，
∴HG=$\frac{1}{4}$，
∴由勾股定理可知：AG=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴CG=AC-AG=2-$\frac{\sqrt{15}}{4}$
∴$\frac{1}{tan∠ACH}$=$\frac{CG}{HG}$=8-$\sqrt{15}$
故答案為：8-$\sqrt{15}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形綜合問題，解題的關(guān)鍵是通過相似三角形的性質(zhì)求出HG、CG、AH長(zhǎng)度，本題屬于難題．