Question

6．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上的一點，BD與過點C的直線相互垂直，垂足為點D，BD與半圓O交于點E，且BC平分∠DBA．
（1）求證：CD是半圓O的切線．
（2）若DC=4$\sqrt{3}$，BE=8，求$\widehat{AC}$的長（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由OB=OC，BC平分∠DBA，易證得OC∥BD，又由BD⊥CD，即可證得結(jié)論；
（2）首先根據(jù)切割線定理求得BD，然后根據(jù)勾股定理求得BC，連接AC，通過證得△ABC∽△CBD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AB，通過解直角三角形求得∠ABC的度數(shù)，進而求得∠AOC的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式求得即可．

解答 解：（1）CD與半圓O相切．
理由：連接OC，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∵BC平分∠DBA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C是半圓O上的一點，
∴CD與半圓O相切．

（2）連接AC，
∵CD是切線，
∴CD²=DE•BD，
∵DC=4$\sqrt{3}$，BE=8，
設(shè)BD=x，則（4$\sqrt{3}$）²=x（x-8），
解得x=12，
∴BD=12，
∵∠BDC=90°，
∴BC=$\sqrt{D{C}^{2}+B{D}^{2}}$=8$\sqrt{3}$，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°=∠BDC，
∵∠BDC=∠ABC，
∴△CDB∽△ACB，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BD}$，即$\frac{AB}{8\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{12}$，
∴AB=16，
∵sin∠3=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠3=30°，
∴∠2=30°
∴∠AOC=60°，
∴$\widehat{AC}$的長=$\frac{60×π×8}{180}$=$\frac{8}{3}$π．

點評 此題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．