Question

3．如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線DB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線于E，AB的延長(zhǎng)線交PC于點(diǎn)F．
（1）證明：①△PAB≌△PCB；②△PAF∽△PEA；
（2）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，AP=6，F(xiàn)P=2，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①由菱形的對(duì)角線平分對(duì)角得出∠ABD=∠CBD，因此∠ABP=∠CBP，再根據(jù)SAS即可證明結(jié)論；
②先證明∠PFA=∠PAE，再由公共角即可證出結(jié)論；
（2）先由△PAF∽△PEA，得出比例式$\frac{PF}{AP}=\frac{AP}{PE}$，求出PE，得出CE、EF，再由平行線得出比例式$\frac{AE}{AD}=\frac{EF}{CF}$，即可求出AE．

解答 （1）證明：①∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
∴∠ABP=∠CBP，
在△PAB和△PCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABP=∠CBP}&{\;}\\{BP=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△PCB（SAS）；
②∵△PAB≌△PCB，∠PAB=∠PCB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，DC∥AF，
∴∠PAE=∠PCD，∠PCD=∠PFA，
∴∠PFA=∠PAE，
又∵∠APF=∠EPA，
∴△PAF∽△PEA；
（2）解：∵△PAB≌△PCB，
∴CP=AP=6，
∴CF=6-2=4，
∵△PAF∽△PEA，
∴$\frac{PF}{AP}=\frac{AP}{PE}$，即$\frac{2}{6}=\frac{6}{PE}$，
∴PE=18，
∴CE=18-6=12，EF=16，
∵DC∥AF，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{EF}{CF}$，即$\frac{AE}{3}=\frac{16}{4}$，
∴AE=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；證明全等三角形和相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．