Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標(biāo)為（3，O），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．
（3）如圖②，若點G（2，n）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，設(shè)P點橫坐標(biāo)為，△APG的面積為S，試確定S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由B點的坐標(biāo)為（3，O），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

，可求得點C與點A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從當(dāng)直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），與當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），去分析求解即可求得答案；
（3）首先求得直線AG的解析式，即可求點G的坐標(biāo)，然后表示出點P與Q的坐標(biāo)，由S=S_△APG=S_△APQ+S_△PGQ，即可求得答案．

解答：解：（1）∵B點的坐標(biāo)為（3，O），OB=OC，
∴點B（3，0），
∵tan∠ACO=

1

3

，
∴OA=1，
∴點A（-1，0），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3．

（2）如圖，①當(dāng)直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），
則N（R+1，R），
∴R=（R+1）²-2（R+1）-3，
解得：R=

1± 17

2

（負(fù)值舍去），
∴R=

1+ 17

2

；
②當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），
∴N（r+1，-r），
∴-r=（r+1）²-2（r+1）-3，
解得：r=

-1± 17

2

（負(fù)值舍去），
∴r=

-1+ 17

2

，
∴圓的半徑為：

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

；

（3）過點P作PQ∥y軸，交AG于點Q，則P（t，t²-2t-3），
∵G（2，n）在此拋物線上，
∴n=2²-2×2-3=-3，
設(shè)直線AG的解析式為：y=kx+b，
把A（-1，0），G（2，-3）代入y=kx+b得：

-k+b=0 2k+b=-3

，
解得：

k=-1 b=-1

，
∴直線AG的解析式為：y=-x-1，
∴點Q（t，-t-1），
聯(lián)立：

y=x2-2x-3 y=-x-1

，
解得：

x=2 y=-3

或

x=-1 y=0

，
點G（2，-3），
∴PQ=（-t-1）-（t²-2t-3）=-t²+t+2，
∴S=S_△APG=S_△APQ+S_△PGQ=

1

2

×（-t²+t+2）×[2-（-1）]=-

3

2

t²+

3

2

t+3．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、切線的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積問題．此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．