Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB∥x軸且交拋物線y=ax²+bx+c于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)D，設(shè)CD=m．
（1）求a與m的關(guān)系式；
（2）若BC=2AC，求S_△ABC（用含有a的式子表示），并求出b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出△ACD和△CBD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式表示出AD•DB，再表示出點(diǎn)A、D的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出AD•DB，整理即可得解；
（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例表示出AD、DB，然后求出AB，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；利用根與系數(shù)的關(guān)系列式求解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵AB∥x，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠CAD，
∴△ACD∽△CBD，
∴

AD

CD

=

CD

DB

，
∴AD•DB=CD²=m²，
令x=0，則y=c，
∵CD=m，
∴點(diǎn)A、D的縱坐標(biāo)為m+c，
∴ax²+bx+c=m+c，
∴ax²+bx-m=0，
∴AD•DB=-

-m

a

，
∴-

-m

a

=m²，
解得ma=1；

（2）由（1）知△ACD∽△CBD，
∴

AD

CD

=

CD

DB

=

AC

BC

，
∵BC=2AC，
∴

AD

m

=

m

DB

=

1

2

，
∴AD=

1

2

m，DB=2m，
∴AB=AD+DB=

1

2

m+2m=

5m

2

，
∴S_△ABC=

1

2

•

5m

2

•m=

5

4

m²；
由根與系數(shù)的關(guān)系得，-AD+DB=-

b

a

，
∴-

1

2

m+2m=-

b

a

，
∴b=-

3

2

ma=-

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，難點(diǎn)在于用相似三角形的性質(zhì)和根與系數(shù)的關(guān)系兩種方法表示出AD•DB．