Question

2．如圖1，已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則易證：EG=FH．
（1）如果把條件中的“正方形”改為“長(zhǎng)方形”，并設(shè)AB=2，BC=3（如圖2），試探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，F(xiàn)H的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{5}}{2}$（如圖3），試求EG的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）將全等三角形改成了相似三角形，通過(guò)相似三角形得出的對(duì)應(yīng)線段成比例來(lái)得出EG：FH=3：2；
（2）按（1）的思路也要通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解，可過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，將△AND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM=MN，而MB的長(zhǎng)可在直角三角形ABM中根據(jù)AB和AM（即HF的長(zhǎng)）求出．如果設(shè)DN=x，那么NM=PM=BM+x，MC=BC-BM=1-BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長(zhǎng)，進(jìn)而可在直角三角形AND中求出AN即EG的長(zhǎng)．

解答 （1）結(jié)論：EG：FH=3：2
證明：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，如圖1：

∴AM=HF，AN=EG，
∵長(zhǎng)方形ABCD，
∴∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
∴△ABM∽△ADN，
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}$，
∵AB=2BC=AD=3，
∴$\frac{EG}{FH}=\frac{3}{2}$；
（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，如圖2：

∵AB=1，AM=FH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴在Rt△ABM中，BM=$\frac{1}{2}$將△AND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△APB，
∵EG與FH的夾角為45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45
即∠PAM=∠MAN=45°，
從而△APM≌△ANM，
∴PM=NM，
設(shè)DN=x，則NC=1-x，NM=PM=$\frac{1}{2}$+x
在Rt△CMN中，（$\frac{1}{2}$+x）²=$\frac{1}{4}$+（1-x）²，
解得x=$\frac{1}{3}$，
∴EG=AN=$\sqrt{1-{x}^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{3}$，
答：EG的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)．通過(guò)輔助線或圖形的旋轉(zhuǎn)將所求的線段與已知的線段構(gòu)建到一對(duì)全等或相似的三角形中是本題的基本思路．