Question

7．（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E、F分別在BC、CD上．AG⊥EF垂足為G，且AG=AB，求∠EAF的度數(shù)．
（2）如圖②在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點M、N是BD上的任意兩點，且∠MAN=45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）在圖①中，連接BD分別交AE、AF于點M、N，如圖③，若AB=12，BM=3$\sqrt{2}$，仔細觀察圖③與圖②，利用（2）中結(jié)論，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）由HL證明△ABE≌△AGE、△AGF≌△ADF即可，只需證明一對全等，另一對同理可證；
（2）先證明△AMN≌△AHN，進而證明△NHD是直角三角形即可；
（3）算出BD的長，設(shè)MN=x，用x表示出DN，利用（2）中結(jié)論建立方程，解之即可．

解答 解：（1）如圖①，

在Rt△ABE和Rt△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理∠GAF=∠DAF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}∠BAD$=45°；
（2）如圖②，

∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
由題意知△ABM≌ADH，
∴∠ADH=∠ABM=45°，AH=AM，
∴∠BDH=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠DAN+∠DAH=45°，
即∠NAH=45°，
在△AMN和△AHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠MAN=∠HAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴HN=MN，
在Rt△NDH中，NH²=DH²+ND²，
∴MN²=BM²+DN²；
（3）如圖③，

∵AB=12，
∴BD=12$\sqrt{2}$，
∵BM=3$\sqrt{2}$，
∴DM=9$\sqrt{2}$，
設(shè)MN=x，則DN=9$\sqrt{2}$-x，
由（2）中結(jié)論可知：MN²=BM²+DN²，
∴${x}^{2}=18+（9\sqrt{2}-x）^{2}$，
解得：x=5$\sqrt{2}$，
即MN=5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，難度適中．本題是經(jīng)典的“大角夾半角”模型，其基本證明方法必須熟練掌握．第（2）問當中所證明的結(jié)論可以認為是等腰直角三角形或正方形的重要性質(zhì)，可直接記住，在解決一些相關(guān)的幾何證明和計算時會有很大幫助．