Question

2．（1）猜想并填空，如圖1，E是平行四邊形ABCD的邊AB延長線上一點，DE交BC于F，觀察圖形，則有S_△ABF=S_△EFC．填“＞”或“＜”或“=”）
（2）利用以上思想方法解決以下問題：
已知：平行四邊形ABCD，∠C=60°，AB=a，BC=b，以AD、BD為邊作等邊△ADE和△BDF，圖中△ABH，△BEG和△DHF之間的面積關(guān)系是什么？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出△ADF的面積=△ABF的面積+△CDF的面積=$\frac{1}{2}$平行四邊形ABCD的面積，△CDE的面積=$\frac{1}{2}$平行四邊形ABCD的面積，得出△ABF的面積+△CDF的面積=△CDF的面積，即可得出結(jié)論；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出AD=DE，∠DAE=∠ADE=∠AED=∠BDF=60°，BF=BD=DF，得出∠BDE=∠FDA，由SAS證明△DBE≌△DFA，得出△DBE的面積=△DFA的面積，BE=FA，再證明△BEG是等邊三角形，得出BE=BG，證明△CDG是等邊三角形，得出CD=DG，因此AB=DG，由SSS證明△ABF≌△GDB，得出△ABF的面積=△GDB的面積，證出△BEG的面積+△ABH的面積+△AFH的面積=△DHF的面積+△AFH的面積，即可得出△ABH的面積+△BEG的面積=△DHF的面積．

解答 解：（1）猜想：S_△ABF=S_△EFC．理由如下：
如圖1所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ADF的面積=△ABF的面積+△CDF的面積=$\frac{1}{2}$平行四邊形ABCD的面積，△CDE的面積=$\frac{1}{2}$平行四邊形ABCD的面積，
∴△ABF的面積+△CDF的面積=△CDF的面積，
∴S_△ABF=S_△EFC．
故答案為：=；
（2）△ABH的面積+△BEG的面積=△DHF的面積；理由如下：
連接AF，如圖2所示：
∵△ADE和△BDF是等邊三角形，
∴AD=DE，∠DAE=∠ADE=∠AED=∠BDF=60°，BF=BD=DF，
∴∠BDE=∠FDA，
在△DBE和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DA}&{\;}\\{∠BDE=∠FDA}&{\;}\\{BD=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DFA（SAS），
∴△DBE的面積=△DFA的面積，BE=FA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠EBG=∠DAE=60°，∠BGE=∠ADE=60°，
∴△BEG是等邊三角形，∠DGC=∠BGE=60°，
∴BE=BG，
∴AF=BG，
∵∠C=60°，
∴△CDG是等邊三角形，
∴CD=DG，
∴AB=DG，
在△ABF和△GDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=GD}&{\;}\\{BF=BD}&{\;}\\{AF=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△GDB（SSS），
∴△ABF的面積=△GDB的面積，
∵△DBG的面積+△BEG的面積=△DHF的面積+△AFH的面積，
△DBG的面積=△ABF的面積=△ABH的面積+△AFH的面積，
∴△BEG的面積+△ABH的面積+△AFH的面積=△DHF的面積+△AFH的面積，
∴△ABH的面積+△BEG的面積=△DHF的面積．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；本題有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．