Question

13．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，點(diǎn)Q在直線AD上，且∠CPQ=120°．
（1）如圖1，若點(diǎn)P為菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)．
①依題意補(bǔ)全圖1；
②猜想PC與PQ的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）如圖2，若∠CPD=80°，連接CQ，寫出求∠PQD度數(shù)的思路．

Answer 1

分析 （1）①首先根據(jù)菱形的特征，判斷出∠CPD=90°，再根據(jù)∠CPQ=120°，判斷出∠DPQ=30°；然后判斷出∠ADP=30°，即可推得點(diǎn)Q是線段DP的垂直平分線與AD的交點(diǎn)；最后根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可．
②猜想PC與PQ的數(shù)量關(guān)系為：PC=PQ．首先根據(jù)∠DPQ=∠ADP=30°，求出∠AQP=60°，推得PA=PQ；然后判斷出PC=PA，即可推得PC=PQ．
（2）首先根據(jù)∠CPQ=120°，∠CPD=80°，求出∠DPQ的度數(shù)是多少；然后在△DPQ中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠PQD的度數(shù)是多少即可．

解答 解：（1）①如圖1，，
∵點(diǎn)P為菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴∠CPD=90°，
∵點(diǎn)Q在直線AD上，且∠CPQ=120°，
∴∠DPQ=120°-90°=30°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=60°，
∴∠ADP=60°÷2=30°，
∴∠DPQ=∠ADP，
∴點(diǎn)Q是線段DP的垂直平分線與AD的交點(diǎn)．

②猜想PC與PQ的數(shù)量關(guān)系為：PC=PQ．
證明：如圖2，，
∵∠DPQ=∠ADP=30°，
∴∠AQP=30°+30°=60°，
又∵∠QAP=∠APD-∠ADP=90°-30°=60°，
∴∠AQP=∠QAP，
∴PA=PQ，
又∵PC=PA，
∴PC=PQ．

（2）如圖3，，
∵∠CPQ=120°，∠CPD=80°，
∴∠DPQ=120°-80°=40°，
又∵∠ADP=30°，
∴∠PQD=180°-30°-40°=110°．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了四邊形綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等； ③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．
（3）此題還考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．