Question

2．某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切（E為上切點(diǎn)），與左右兩邊相交（F，G為其中兩個交點(diǎn)），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，若∠EOF=45°，則此窗戶的透光率（透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值）為$\frac{（π+2）\sqrt{2}}{8}$．

Answer 1

分析 把透光部分看作是兩個直角三角形與四個45°的扇形的組合體，其和就是透光的面積，再計(jì)算矩形的面積，相比可得結(jié)果．

解答 解：設(shè)⊙O與矩形ABCD的另一個交點(diǎn)為M，
連接OM、OG，則M、O、E共線，
由題意得：∠MOG=∠EOF=45°，
∴∠FOG=90°，且OF=OG=1，
∴S_{透明區(qū)域}=$\frac{180π×{1}^{2}}{360}$+2×$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{π}{2}$+1，
過O作ON⊥AD于N，
∴ON=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$，
∴AB=2ON=2×$\frac{1}{2}\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴S_矩形=2×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{S}_{透光區(qū)域}}{{S}_{矩形}}$=$\frac{\frac{π}{2}+1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}（π+2）}{8}$．
故答案為：$\frac{（π+2）\sqrt{2}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、扇形的面積、直角三角形的面積，將透光部分化分為幾個熟知圖形的面積是關(guān)鍵．