Question

11．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，則線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？
經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長CB到E，使BE=CD，連接AE，證得△ABE≌△ADC，從而容易證明△ACE是等邊三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將△ABC繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AD重合，從而容易證明△ACF是等邊三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：
（1）小穎提出：如圖4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對小穎提出的問題，請你寫出結(jié)論，并給出證明．
（2）小華提出：如圖5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對小華提出的問題，請你寫出結(jié)論，不用證明．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判斷∠ADE=∠ABC也可以先判斷出點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓）
（2）先判斷出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函數(shù)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）BC+CD=$\sqrt{2}$AC；
理由：如圖1，
延長CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=90°，
∵∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$AC，
∵CE=CD+DE=CD+BC，
∴BC+CD=$\sqrt{2}$AC；
（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如圖2，
延長CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=α，
∴AB=AD，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2α，
∵∠ACB=∠ACD=α，
∴∠ACB+∠ACD=2α，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，
∴∠AEC=α，
過點(diǎn)A作AF⊥CE于F，
∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，
∴CE=2CF=2AC•cosα，
∵CE=CD+DE=CD+BC，
∴BC+CD=2AC•cosα．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定，四邊形的內(nèi)角和，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，是一道綜合性較強(qiáng)的題目．