Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使AC=CD，DB的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AF交⊙O于點(diǎn)M，連接BM．
（1）求證：DB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，E是OB的中點(diǎn)，求BM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理得OC⊥AB，再證明CO是△ADB的中位線，則CO∥DB，所以BD⊥AB，于是根據(jù)切線的判定定理得到DB是⊙O的切線；
（2）由CO∥DB得△OCE∽△BFE，則$\frac{OE}{BE}$=$\frac{BF}{OC}$，由于OE=EB，則BF=CO=2，于是在Rt△ABF中利用勾股定理可計(jì)算出AF=2$\sqrt{5}$，接著根據(jù)圓周角定理得到∠AMB=90°，所以可利用面積法計(jì)算BM的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OC，如圖，
∵C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，
∵AC=CD，AO=BO，
∴CO是△ADB的中位線．
∴CO∥DB，
∴BD⊥AB，
又∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴DB是⊙O的切線；
（2）解：∵CO∥DB，
∴△OCE∽△BFE，
∴$\frac{OE}{BE}$=$\frac{BF}{OC}$，
∵E是OB的中點(diǎn)，
∴OE=EB，
∴BF=CO=2，
在Rt△ABF中，∵AB=4，BF=2，
∴AF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，
∴$\frac{1}{2}$BM•AF=$\frac{1}{2}$AB•BF，
∴BM=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了三角形中位線定理和勾股定理．