Question

17．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是正方形，則AG的長是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 連接EF交AC于點(diǎn)O，則可求得AO的長，利用△AOE∽△ABC可求得OE長，則可求得AG長．

解答 解：
連接EF交AC于點(diǎn)O，
∵四邊形EGFH是正方形，四邊形ABCD為矩形，
∴OG=OH=OE，OA=OC，且EF⊥AC，
∵AB=8，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴OA=2$\sqrt{5}$，
∵∠AOE=∠ABC，∠OAE=∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BC}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{8}$=$\frac{OE}{4}$，解得OE=$\sqrt{5}$，
∴OG=OE=$\sqrt{5}$，
∴AG=AO-OG=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正方形和矩形的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求得OE是解題的關(guān)鍵．