Question

10．如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D在BC的延長線上，且CD=BC，點(diǎn)E為CD上任意一點(diǎn)．以AE為邊作等邊△AEF，連接DF．
（1）如圖1，證明：AE=DF；
（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG∥AC交BA延長線于點(diǎn)G，當(dāng)FG⊥BG時(shí)，若DE=2，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連接CF，先證明△BAE≌△CAF，再證明△FCA≌△FCD即可解決問題．
（2）如圖2中，設(shè)CF與DG交于點(diǎn)G，連接AG，先證明△DNC，△ACN，△AGN，都是等邊三角形，設(shè)AB=BC=AC=a，則EC=a-2，再證明△ACE≌△ANF，在RtFGN中，根據(jù)GN=2FN，可得a=2（a-2），由此解方程即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接CF．

∵△ABC、△AEF都是等邊三角形，
∴AC=AB，AF=AE，∠CAB=∠EAF=∠B=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
△BAE≌△CAF，
∴∠ACB=∠B=60°，
∴∠FCD=∠FCA=60°，
在△FCA和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{∠FCA=∠FCD}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△FCA≌△FCD，
∴AF=DF=AE．

（2）解：如圖2中，設(shè)CF與DG交于點(diǎn)G=N，連接AN．

由（1）可知，∠NCD=60°，
∵DG∥AC，
∴∠NDC=∠NCD=60
∴△DNC是等邊三角形，易證△ACN，△AGN，都是等邊三角形，設(shè)AB=BC=AC=a，則EC=a-2，
在△ACE和△ANF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AN}\\{∠EAC=∠FAN}\\{AF=AE}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ANF，
∴FN=E=a-2，
∵∠FCD=∠B=60°，
∴CF∥BG，
∵FG⊥BG，
∴FG⊥CF，
∴∠GFN=90°，
在Rt△GFN中，∵∠GFN=90°，∠FNG=60°，
∴∠FGN=30°，
∴GN=2FN，即a=2（a-2），
∴a=4，
∴BE=EC+BC=2+4=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用方程思想思考問題，屬于中考�？碱}型．