Question

2．如圖四邊形ABCD，∠B=∠C=90°，AB=BC=4，△AED為等邊三角形，M為AB中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A出發(fā)向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，P的速度為1單位/秒，Q的速度為2單位/秒，當(dāng)Q到達(dá)E時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)t秒后，PQ+QM的值最小，求此最小值和t．

Answer 1

分析 如圖，作AM⊥CD于K，連接AC，作QG⊥AC于G，作MN⊥AC于N交AE于Q′，首先證明Rt△ADK≌Rt△AEB，推出∠DAK=∠BAE，推出∠DAK=∠BAE=15°，由∠CAE=∠CAB-∠BAE=30°，推出GQ=$\frac{1}{2}$AQ，由PQ=2t-t=t=$\frac{1}{2}$AQ，推出PQ=GQ，所以MQ+PQ=MQ+GQ，所以當(dāng)G、Q、M共線(xiàn)時(shí)，MQ+QP的值最小，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作AM⊥CD于K，連接AC，作QG⊥AC于G，作MN⊥AC于N交AE于Q′．

∵∠K=∠KCB=∠B=90°，
∴四邊形ABCK是矩形，
∵AB=BC，
∴四邊形ABCK是正方形，
∴AB=AK，∵AD=AE，
∴Rt△ADK≌Rt△AEB，
∴∠DAK=∠BAE，
∵∠DAE=60°，∠KAB=90°，
∴∠DAK=∠BAE=15°，
∴∠CAE=∠CAB-∠BAE=30°，
∴GQ=$\frac{1}{2}$AQ，
∵PQ=2t-t=t=$\frac{1}{2}$AQ，
∴PQ=GQ，
∴MQ+PQ=MQ+GQ，
∴當(dāng)G、Q、M共線(xiàn)時(shí)，MQ+QP的值最小，
此時(shí)MQ+QG的最小值=MQ′+Q′N(xiāo)=MN，
在Rt△AMN中，∵∠NAM=∠NMA=45°，AM=2，
∴MN=$\sqrt{2}$，
∴PQ+QM的最小值為$\sqrt{2}$．此時(shí)AQ′=2NQ′=2×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴2t=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴此時(shí)t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化是思想思考問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為垂線(xiàn)段最短問(wèn)題，題目比較難，所以中考?jí)狠S題．