Question

6．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE⊥BD，聯(lián)結(jié)AC、DE．
求證：（1）BE=AD；（2）AC⊥DE．

Answer 1

分析 （1）由ASA證明△DAB≌△EBC，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）證出AC平分∠BAD，再證明AD=AE，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論，

解答 證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠ABD=∠BCE，
在△DAB和△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ABC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\\{∠ABD=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EBC（ASA），
∴BE=AD；
（2）∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠DAC=90°-45°=45°=∠BAC，
即AC平分∠BAD，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
又∵BE=AD，
∴AE=AD，即△ADE是等腰三角形，
∴AC⊥DE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．