Question

7．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF為⊙O的直徑，有下列結(jié)論：
①∠ABP=∠AOP；②BC=DF； ③∠PAC=$\frac{1}{2}$∠AOP；④BE²=$\frac{PE•BF}{2}$
其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 首先連接OB，根據(jù)切線長定理得PA=PB，∠APO=∠BPO；易證得△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP，即$\widehat{AC}=\widehat{BC}$；再根據(jù)這些基礎(chǔ)條件進行判斷即可．

解答 解：連接OB；
∵PA、PB都是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO；
在△APO和△BPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{∠APO=∠BPO}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BPO（SAS），
∴∠AOP=∠BOP，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$；
①∵PB切⊙O于點B，
∴∠PBA=∠AFB，
由$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，得∠AFB=∠AOP，
∴∠PBA=∠AOP；
故①正確；
②∵∠AOC=∠BOC=∠FOD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}=\widehat{FD}$，
∴BC=DF，
故②正確；
③同①，可得∠PAB=∠AOC；
∵$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠PAB，
∴AC平分∠PAB，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠AOP，
故③正確；
④在△PEB和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠APF}\\{∠PBE=∠AFB}\end{array}\right.$，
∴△PEB∽△ABF，
∴BE：PE=BF：AB=BF：2BE，2BE²=$\frac{1}{2}$PE•BF，
故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論共有4個；
故選A．

點評 此題主要考查的是切線的性質(zhì)，涉及的知識點有：圓周角定理，全等三角形的判斷和性質(zhì)，切線長定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系等，題目的綜合性較強，對學(xué)生的綜合能力要求很高，是一道不錯的中考題．