Question

2．（1）如圖1，菱形ABCD中，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=60°，連接EF，作△AGF，使△AGF與△AEF關(guān)于直線AF對(duì)稱，連接DG． 求證：DG=BE；
（2）如圖2，等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，M在N的左邊，且∠MAN=60°，若BM=2，NC=3，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠GAF=∠EAF=60°，AG=AE，再得出∠BAE=∠DAG，從而證得△ABE≌△ADG，即可得出結(jié)論；
（2）作△APN，使△APN與△AMN關(guān)于直線AN對(duì)稱，連接PC，由（1）可得△ABM≌△ACP，PC=BM=2，MN=PN，∠ACP=∠ABM=30°，進(jìn)而得到∠NCP=60°，然后過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足為E，利用勾股定理求解即可．

解答 （1）證明：∵△AGF與△AEF關(guān)于直線AF對(duì)稱，
∴∠GAF=∠EAF=60°，AG=AE，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=60°，
∴∠BAE=∠DAG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG，
∴DG=BE；
（2）解：作△APN，使△APN與△AMN關(guān)于直線AN對(duì)稱，連接PC，
由（1）可得△ABM≌△ACP，PC=BM=2，MN=PN，∠ACP=∠ABM=30°，
∴∠NCP=60°，
過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足為D，
∴CD=$\frac{1}{2}$PC=1，DN=CN-CD=2，
∴PD=PC•sin∠PCD=$\sqrt{3}$，
∴MN=PN=$\sqrt{P{D}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ADC≌△BDF，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，難度適中．