Question

15．如圖，在矩形ABCD中，有一個菱形BFDE（點E、F分別在線段AB、CD上），記它們的面積分別為S_ABCD和S_BFDE．現給出下列命題：
①若$\frac{{S}_{ABCD}}{{S}_{BFDE}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，則tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②若DE²=BD•EF，則DF=2AD．
那么，下面判斷正確的是（　�。�

• A． ①是真命題，②是真命題
• B． ①是真命題，②是假命題
• C． ①是假命題，②是真命題
• D． ①假命題，②假命題

Answer 1

分析 ①由已知先求出cos∠BFC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再求出tan∠EDF，即可判斷；
②由S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF•AD=$\frac{1}{4}$BD•EF，及DE²=BD•EF，可得DF•AD=$\frac{1}{2}$DF²，即DF=2AD．

解答 解：①設CF=x，DF=y，BC=h．
∵四邊形BFDE是菱形，
∴BF=DF=y，DE∥BF．
∵$\frac{{S}_{ABCD}}{{S}_{BFDE}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{（x+y）h}{yh}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即cos∠BFC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BFC=30°，
∵DE∥BF，
∴∠EDF=∠BFC=30°，
∴tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以①是真命題．

②∵四邊形BFDE是菱形，
∴DF=DE．
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF•AD=$\frac{1}{4}$BD•EF，
又∵DE²=BD•EF（已知），
∴S_△DEF=$\frac{1}{4}$DE²=$\frac{1}{4}$DF²，
∴DF•AD=$\frac{1}{2}$DF²，
∴DF=2AD，
所以②是真命題．
故選：A．

點評 此題考查了矩形的性質及菱形的性質，解題的關鍵是①先求出∠EDF的余弦函數值確定其度數，再求出其正切．②用面積法確定．