Question

10．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE．求證：CE=CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠ECG=45°，求證：S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG．

Answer 1

分析 （1）先利用正方形的性質(zhì)得到CB=CD，∠B=∠ADC=90°，然后根據(jù)“SAS”證明△CBE≌△CDF，則可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=CF；
（2）延長AD到F，使DF=BE，連結(jié)CF，如圖2，由（1）得△CBE≌△CDF，則CE=CF，∠1=∠2，S_△BCE=S_△CDF，利用∠1+∠DCE=90°可得∠2+∠DCE=90°，所以∠ECG=∠FCG=45°，則可利用“SAS”證明△CEG≌△CFG，則S_△ECG=S_△CFG，易得S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCd為正方形，
∴CB=CD，∠B=∠ADC=90°，
在△CBE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠CBE=∠CDF}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）證明：延長AD到F，使DF=BE，連結(jié)CF，如圖2，
由（1）得△CBE≌△CDF，
∴CE=CF，∠1=∠2，S_△BCE=S_△CDF，
∵∠1+∠DCE=90°，
∴∠2+∠DCE=90°，即∠ECF=90°，
∵∠ECG=45°，
∴∠FCG=45°，
在△CEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠ECG=∠FCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△CFG，
∴S_△ECG=S_△CFG，
∴S_△ECG=S_△CDF+S_△CDG=S_△BCE+S_△CDG．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了正方形的性質(zhì)．在解決（2）時要運(yùn)用（1）的結(jié)論．