Question

19．已知拋物線y=ax²-2ax+c與x軸的一個交點為A（-1，0），與y軸交于點C．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸，以及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）當CO=3時，求拋物線的解析式；
（3）當∠ACB=90°時，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線對稱軸方程易得拋物線的對稱軸為直線x=1，然后根據(jù)拋物線的對稱性可確定B（3，0）；
（2）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），然后分別把C（0，3）和（0，-3）代入求出對應的a的值即可得到拋物線解析式；
（3）如圖，先證明Rt△AOC∽△COB，利用相似比可計算出OC=$\sqrt{3}$，則C（0，$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$），然后與（2）的求法一樣．

解答 解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵點A與點B為拋物線上的對稱點，
∴B（3，0）；
（2）∵OC=3，
∴C（0，3）或（0，-3），
設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
當C點坐標為（0，3）時，a•1•（-3）=3，解得a=-1，此時拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
當C點坐標為（0，-3）時，a•1•（-3）=-3，解得a=1，此時拋物線解析式為y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（3）如圖，
∵∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
而∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
∴Rt△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{1}{OC}$=$\frac{OC}{3}$，解得OC=$\sqrt{3}$，
∴C（0，$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$），
設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
當C點坐標為（0，$\sqrt{3}$）時，a•1•（-3）=$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此時拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
當C點坐標為（0，-$\sqrt{3}$）時，a•1•（-3）=-$\sqrt{3}$，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此時拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標轉化為解關于x的一元二次方程；從二次函數(shù)的交點式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式和相似三角形的判定與性質．