Question

19．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，點(diǎn)N在正方形ABCD外部，且滿足∠CMN=90°，CM=MN，連接AN，CN，取AN的中點(diǎn)E，連接BE，AC，交于F點(diǎn)．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求證：∠ABE=∠CBE；
（3）設(shè)AB=2，若點(diǎn)M沿著線段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，則在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EN所掃過(guò)的面積為多少？

Answer 1

分析 （1）依照題意補(bǔ)全圖形即可；
（2）連接CE，只要證明△ABE≌△CBE即可．
（3）找出EN所掃過(guò)的圖形為四邊形DFCN．根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出BD∥CN，由此得出四邊形DFCN為梯形，再由AB=2，可算出線段CF、DF、CN的長(zhǎng)度，利用梯形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示．


（2）證明：連接CE，如圖2所示．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
∵∠CMN=90°，CM=MN，
∴∠MCN=45°，
∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．
∵在Rt△ACN中，點(diǎn)E是AN中點(diǎn)，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AN．
∵AE=CE，AB=CB，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠ABE=∠CBE．
∴點(diǎn)B，E在AC的垂直平分線上，

（3）在點(diǎn)M沿著線段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，線段EN所掃過(guò)的圖形為四邊形DFCN．
∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，
∴BD∥CN，
∴四邊形DFCN為梯形．
∵AB=1，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，CN=$\sqrt{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
∴S_梯形DFCN=$\frac{1}{2}$（DF+CN）•CF=$\frac{1}{2}$（ $\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及梯形的面積公式，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．