Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，且∠AFE=90°
（1）證明：△ABF∽△FCE；
（2）當DE取何值時，∠AED最大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等角的余角相等，證明∠AFB=∠FEC即可解決問題；
（2）取AE的中點O，連接OD、OF．由∠AFE=∠ADE=90°，可知OA=OD=OE=OF，推出A、D、E、F四點共圓，推出∠AED=∠AFD，推出當⊙O與BC相切時，∠AFD的值最大，易知BF=CF=4，由△ABF∽△FCE，可得$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BF}{EC}$，求出EC即可解決問題；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFB=∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．

（2）取AE的中點O，連接OD、OF．
∵∠AFE=∠ADE=90°，
∴OA=OD=OE=OF，
∴A、D、E、F四點共圓，
∴∠AED=∠AFD，
∴當⊙O與BC相切時，∠AFD的值最大，易知BF=CF=4，
∵△ABF∽△FCE，
∴$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BF}{EC}$，
∴$\frac{6}{4}$=$\frac{4}{EC}$，
∴EC=$\frac{8}{3}$，
∴DE=DC-CE=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$．
∴當DE=$\frac{10}{3}$時，∠AED的值最大．

點評 本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是學會添加輔助圓解決問題，屬于中考壓軸題．