Question

13．某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，研究三角形和正方形的性質時，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF．
（1）觀察猜想
如圖①，當點D在線段BC上時．
①BC與CF的位置關系為：垂直；
②BC，CD，CF之間的數(shù)量關系為：BC=CF+CD；（將結論直接寫在橫線上）
（2）數(shù)學思考
如圖②，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明；
（3）拓展延伸
如圖③，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE．若已知AB=2$\sqrt{2}$，CD=$\frac{1}{4}$BC，請求出GE的長．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正方形的性質得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；②由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質即可得到結論；
（2）根據(jù)正方形的性質得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質以及等腰直角三角形的角的性質可得到結論．
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質得到BC=$\sqrt{2}$AB=4，AH=$\frac{1}{2}$BC=2，求得DH=3，根據(jù)正方形的性質得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)矩形的性質得到NE=CM，EM=CN，由角的性質得到∠ADH=∠DEM，根據(jù)全等三角形的性質得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到CG=BC=4，根據(jù)勾股定理即可得到結論．

解答 解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案為：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案為：BC=CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．

（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=4，AH=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴CD=$\frac{1}{4}$BC=1，CH=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴DH=3，
由（2）證得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四邊形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH與△DEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠DEM}\\{∠AHD=∠DME}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG=$\sqrt{G{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了四邊形綜合題，需要掌握全等三角形的判定和性質，正方形的性質，余角的性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．