Question

4．如圖，在矩形ABCD中，以邊AB為直徑的半圓O恰與對(duì)邊CD相切于T，與對(duì)角線AC交于P，PE⊥AB于E，AB=10，則PE的長(zhǎng)為4cm．

Answer 1

分析 連接BP，勾股定理求出AC的長(zhǎng)，易證△PEB∽△AEP，△ABC∽△PEA，設(shè)PE=xcm，AE=ycm，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可得到x和y的關(guān)系，解方程求解．

解答 解：連接OT、BP，
∵CD與半圓O相切于T，
∴OT⊥CD，
∵ABCD是矩形，
∴BCTO是矩形，
∴BC=OT=$\frac{1}{2}$AB=5cm，
∵AB是半圓⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∵PE⊥AB，
∴△PEB∽△AEP，
∴PE：AE=BE：PE，
設(shè)PE=xcm，
AE=ycm，
則x：y=（10-y）：x，
∴x²=y（10-y），
∴∠PAE=∠PAB，
∠ABC=∠PEA=90°，
∴△ABC∽△PEA，
∴PE：BC=AE：AB，
則x：5=y：10，
∴y=2x，
解得x₁=0（舍去），
x₂=4，
∴PE=4cm，
∴P到AB的距離是4cm．
故答案是：4cm．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意做題時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)．