Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A和點B，如果△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A、B兩點之間部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線的準蝶形，頂點M稱為碟頂，線段AB的長稱為碟寬．
（1）拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}$的碟寬為4，拋物線y=ax²（a＞0）的碟寬為$\frac{2}{a}$．
（2）如果拋物線y=a（x-1）²-6a（a＞0）的碟寬為6，那么a=$\frac{1}{3}$．
（3）將拋物線y_n=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的準蝶形記為F_n（n=1，2，3，…），我們定義F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n為相似準蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比．如果F_n與F_n-1的相似比為$\frac{1}{2}$，且F_n的碟頂是F_n-1的碟寬的中點，現(xiàn)在將（2）中求得的拋物線記為y₁，其對應(yīng)的準蝶形記為F₁．
①求拋物線y₂的表達式；
②請判斷F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬的右端點是否在一條直線上？如果是，直接寫出該直線的表達式；如果不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義易算出含具體值的拋物線y=$\frac{1}{2}$x²，利用端點（第一象限）橫縱坐標的相等．推廣至含字母的拋物線y=ax²（a＞0）求出碟寬；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，根據(jù)碟寬AB=6易得a的值；
（3）①由y₁，易推y₂．②結(jié)合畫圖，易知h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在直線x=2上，但證明需要有一般推廣，可以考慮h_n∥h_n-1，且都過F_n-1的碟寬中點，進而可得．另畫圖時易知碟寬有規(guī)律遞減，所以推理也可得右端點的特點．對于“F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點是否在一條直線上？”，如果寫出所有端點規(guī)律似乎很難，找規(guī)律更難，所以可以考慮基礎(chǔ)的幾個圖形關(guān)系，如果相鄰3個點構(gòu)成的兩條線段不共線，則結(jié)論不成立，反則結(jié)論成立．求直線方程只需考慮特殊點即可．

解答 解：（1）∵a＞0，
∴y=ax²的圖象大致如下：

其必過原點O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點為C，連接OA，OB．
∵△OAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}•$90°=45°，
∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=-y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），C（0，$\frac{1}{a}$），
∴AB=$\frac{2}{a}$，OC=$\frac{1}{a}$，
即y=ax²的碟寬為$\frac{2}{a}$．
拋物線y=$\frac{1}{2}$x²對應(yīng)的a=$\frac{1}{2}$，得碟寬$\frac{2}{a}$為4；
拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為$\frac{2}{a}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{a}$；
（2）∵y=a（x-1）²-6a（a＞0）
∴同（1），其碟寬為$\frac{2}{a}$，∵拋物線y=a（x-1）²-6a（a＞0）的碟寬為6，
∴$\frac{2}{a}$=6，
解得 a=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$；

（3）①∵F₁的碟寬：F₂的碟寬=2：1，
∴$\frac{2}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{{a}_{2}}$，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a₂=$\frac{2}{3}$．
∵y=$\frac{1}{3}$（x-1）²-2的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴F₂的碟頂坐標為（2，0），
∴y₂=$\frac{2}{3}$（x-1）²+1，
②∵F_n的準碟形為等腰直角三角形，
∴F_n的碟寬為2h_n，
∵2h_n：2h_n-1=1：2，
∴h_n=$\frac{1}{2}$h_n-1=${（\frac{1}{2}）}^{2}$h_n-2=（$\frac{1}{2}$^）3h_n-3=…=（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹h₁，
∵h₁=3，
∴h_n=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$．
∵h_n∥h_n-1，且都過F_n-1的碟寬中點，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在一條直線上，
∵h₁在直線x=2上，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在直線x=2上，
∴F_n的碟寬右端點橫坐標為2+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，
另，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點在一條直線上，直線為y=-x+5．
分析如下：
考慮F_n-2，F(xiàn)_n-1，F(xiàn)_n情形，關(guān)系如圖2，

F_n-2，F(xiàn)_n-1，F(xiàn)_n的碟寬分別為AB，DE，GH；C，F(xiàn)，I分別為其碟寬的中點，都在直線x=2上，連接右端點，BE，EH．
∵AB∥x軸，DE∥x軸，GH∥x軸，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，
∴四邊形GFEH，四邊形DCBE都為平行四邊形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=$\frac{1}{2}$•∠GFH=$\frac{1}{2}$•∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都過E點，
∴HE，EB在一條直線上，
∴F_n-2，F(xiàn)_n-1，F(xiàn)_n的碟寬的右端點是在一條直線，
∴F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬的右端點是在一條直線．
∵F₁：y₁=$\frac{1}{3}$（x-2）²-3準碟形右端點坐標為（4，1），
F₂：y₂=$\frac{3}{2}$（x-2）²準碟形右端點坐標為（2+$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴待定系數(shù)可得過兩點的直線為y=-x+5，
∴F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬的右端點是在直線y=-x+5上．

點評 本題考查等腰直角三角形，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)解析式與圖象性質(zhì)，多點共線證明等知識，綜合難度較高，學(xué)生清晰理解有一定困難，解題的關(guān)鍵是由拋物線y=ax²（a＞0），得到碟寬只和a有關(guān)，即碟寬為 $\frac{2}{a}$．