Question

13．如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的⊙O與CD相切于點M，
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若正方形的邊長為1，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）過O作ON⊥BC于N，由垂直的定義得到∠ONC=90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠OCN=∠OCM=45°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OMC=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ON=OM，于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)⊙O的半徑=r，于是得到AO=r，OC=$\sqrt{2}$r，列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：過O作ON⊥BC于N，
∴∠ONC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OCN=∠OCM=45°，
∵CD與⊙O相切于M，
∴∠OMC=90°，
在△ONC與△OMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ONC=∠OMC=90°}\\{∠OCN=∠OCM}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCN≌△OCM，
∴ON=OM，
∴BC與⊙O相切；

（2）∵正方形的邊長為1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
設(shè)⊙O的半徑=r，
∴AO=r，OC=$\sqrt{2}$r，
∵AO+OC=AC，
∴r+$\sqrt{2}$r=$\sqrt{2}$，
∴r=2-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．