Question

20．閱讀材料：
①直線l外一點(diǎn)P到直線l的垂線段的長度，叫做點(diǎn)P到直線l的距離，記作d（P，l）
②兩條平行線l₁，l₂，直線上l₁任意一點(diǎn)到直線l₂的距離，叫做這兩條平行線l₁，l₂之間的距離，記作d（l₁，l₂）；
③若直線l₁，l₂相交，則定義d（l₁，l₂）=0
④對(duì)于同一條直線l，我們定義d（l，l）=0．
對(duì)于兩點(diǎn)P₁，P₂和兩條直線l₁，l₂，定義兩點(diǎn)P₁，P₂的“l(fā)₁，l₂-相關(guān)距離”如下：d（P₁，P₂|l₁，l₂）=d（P₁，l₁）+d（l₁，l₂）+d（P₂，l₂）
設(shè)P₁（4，0），P₂（0，3），l₁：y=x，l₂：y=$\sqrt{3}$x，l₃：y=kx，l₄：y=k′x，解決以下問題：
（1）d（P₁，P₂|l₁，l₁）=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，d（P₁，P₂|l₁，l₂）=2$\sqrt{2}+$$\frac{3}{2}$
（2）①若k＞0，則當(dāng)d（P₁，P₂|l₃，l₃）最大時(shí)，k=$\frac{4}{3}$；
②若k＜0，試確定k的值使得d（P₁，P₂|l₃，l₃）最大．
（3）若k′＞k＞0，且，l₃，l₄的夾角是30°，直接寫出d（P₁，P₂|l₃，l₄）的最大值$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）首先分別求出d（P₁，l₁）、d（l₁，l₁）、d（P₂，l₁）的值各是多少，再把它們求和，求出d（P₁，P₂|l₁，l₁）的值是多少；然后分別求出d（P₁，l₁）、d（l₁，l₂）、d（P₂，l₂）的值各是多少，再把它們求和，求出d（P₁，P₂|l₁，l₂）的值是多少即可．
（2）①首先作P₁A⊥l₃于點(diǎn)A，P₂B⊥l₃于點(diǎn)B，連接P₁P₂交l₃于點(diǎn)C，然后根據(jù)P₁A+P₂B≤P₁P₂，可得當(dāng)P₁P₂⊥l₃時(shí)，P₁A+P₂B的值最大，據(jù)此求出k的值是多少即可．
②首先作P₁A⊥l₃于點(diǎn)A，P₂B⊥l₃于點(diǎn)B，P₁、P₃關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P₃C⊥l₃于點(diǎn)C，P₂P₃交l₃于點(diǎn)D，然后根據(jù)P₂B+P₃C≤P₂P₃，可得當(dāng)P₂P₃⊥l₃時(shí)，P₂B+P₃C取到最大值，據(jù)此求出k的值是多少即可．
（3）首先作P₁A⊥l₃于點(diǎn)A，P₂B⊥l₄于點(diǎn)B，然后求出d（P₁，P₂|l₃，l₄）=d（P₁，l₃）+d（l₃，l₄）+d（P₂，l₄）=$\sqrt{13}$sin（α+γ）（其中tanγ=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$），據(jù)此判斷出d（P₁，P₂|l₃，l₄）的最大值是多少即可．

解答 解：（1）∵P₁（4，0），P₂（0，3），l₁：y=x，l₂：y=$\sqrt{3}$x，
∴d（P₁，P₂|l₁，l₁）=d（P₁，l₁）+d（l₁，l₁）+d（P₂，l₁）
=$\frac{4}{\sqrt{2}}$+0+$\frac{3}{\sqrt{2}}$
=2$\sqrt{2}+\frac{3}{2}\sqrt{2}$
=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$
∴d（P₁，P₂|l₁，l₂）=d（P₁，l₁）+d（l₁，l₂）+d（P₂，l₂）
=$\frac{4}{\sqrt{2}}$+0+$\frac{|\sqrt{3}×0-1×3|}{\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+（-1）}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}+$$\frac{3}{2}$

（2）①如圖1，作P₁A⊥l₃于點(diǎn)A，P₂B⊥l₃于點(diǎn)B，連接P₁P₂交l₃于點(diǎn)C，
，
d（P₁，P₂|l₃，l₃）=d（P₁，l₃）+d（l₃，l₃）+d（P₂，l₃）=P₁A+P₂B，
∵P₁A≤P₁C，P₂B≤P₂C，
∴P₁A+P₂B≤P₁P₂，
∴當(dāng)P₁P₂⊥l₃時(shí)，
P₁A+P₂B的最大值是：$\sqrt{{{OP}_{1}}^{2}{+{OP}_{2}}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
此時(shí)k=tan∠OP₂P₁=$\frac{{OP}_{1}}{{OP}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴若k＞0，當(dāng)d（P₁，P₂|l₃，l₃）最大時(shí)，k=$\frac{4}{3}$．

②如圖2，作P₁A⊥l₃于點(diǎn)A，P₂B⊥l₃于點(diǎn)B，P₁、P₃關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P₃C⊥l₃于點(diǎn)C，P₂P₃交l₃于點(diǎn)D，，
∵P₁、P₃關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴P₁A=P₃C，
∴d（P₁，P₂|l₃，l₃）=d（P₁，l₃）+d（l₃，l₃）+d（P₂，l₃）=P₁A+P₂B=P₂B+P₃C，
∵P₂B≤P₂D，P₃C≤P₃D，
∴P₂B+P₃C≤P₂P₃，
∴當(dāng)P₂P₃⊥l₃時(shí)，
P₂B+P₃C的最大值是：$\sqrt{{{OP}_{3}}^{2}{+{OP}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
此時(shí)k=-tan∠OP₂P₃=-$\frac{{OP}_{3}}{{OP}_{2}}$=-$\frac{4}{3}$，
∴若k＜0，當(dāng)d（P₁，P₂|l₃，l₃）最大時(shí)，k=-$\frac{4}{3}$．

（3）如圖3，作P₁A⊥l₃于點(diǎn)A，P₂B⊥l₄于點(diǎn)B，
，
設(shè)∠AOP₁=α，∠BOP₂=β，
則β=90°-30°-α=60°-α，
∴d（P₁，P₂|l₃，l₄）=d（P₁，l₃）+d（l₃，l₄）+d（P₂，l₄）
=P₁A+P₂B
=OP₁sinα+OP₂sinβ
=4sinα+3sinβ
=4sinα+3sin（60°-α）
=$\frac{5}{2}$sinα+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cosα
=$\sqrt{13}$sin（α+γ）（其中tanγ=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）
∴當(dāng)α+γ=90°，即α=90°-arctan$\frac{3\sqrt{3}}{5}$時(shí)，
$\sqrt{13}$sin（α+γ）的最大值是$\sqrt{13}$，
∴d（P₁，P₂|l₃，l₄）的最大值是$\sqrt{13}$．
故答案為：$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}+$$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{3}$，$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是理解d（P₁，P₂|l₁，l₂）=d（P₁，l₁）+d（l₁，l₂）+d（P₂，l₂）的意義和求法．
（2）此題還考查了三角函數(shù)的最值的求法，要熟練掌握．