Question

12．如圖，一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C、點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)M（0，2）對(duì)稱．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)B、C兩點(diǎn)的圓的圓心為P
①若P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3，圓P交x軸于點(diǎn)E、F（E在F的左側(cè)），分別求sin∠BEC和sin∠BFC的值；
②對(duì)于常數(shù)a（a＞1），x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得sin∠BQC=$\frac{1}{a}$？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)C、點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)M（0，2）對(duì)稱，求出C點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可．
（2）①首先求出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，然后連接BP并延長(zhǎng)交⊙P于點(diǎn)G，根據(jù)圓周角定理，可得∠BEC=∠BFC=∠BGC，據(jù)此求出sin∠BEC和sin∠BFC的值是多少即可．
②x軸上存在點(diǎn)Q，使得sin∠BQC=$\frac{1}{a}$．首先根據(jù)sin∠BQC=$\frac{1}{a}$，分別求出圓的半徑、圓心的坐標(biāo)各是多少；然后求出圓的解析式，令y=0，即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，
∴A（3，0）、B（0，3），
又∵點(diǎn)C、點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)M（0，2）對(duì)稱，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）．

（2）如圖1，連接BP并延長(zhǎng)交⊙P于點(diǎn)G，，
∵⊙P過(guò)B、C兩點(diǎn)，
∴圓心P在BC的中垂線上，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，
又∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，2），半徑r=PB=$\sqrt{{（-3-0）}^{2}{+（2-3）}^{2}}=\sqrt{10}$，
根據(jù)圓周角定理，可得
∠BEC=∠BFC=∠BGC，
∵∠BCG=90°，
∴sin∠BEC=sin∠BFC=sin∠BGC=$\frac{BC}{BG}=\frac{3-1}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

（3）x軸上存在點(diǎn)Q，使得sin∠BQC=$\frac{1}{a}$．
如圖2，
設(shè)P（m，2），圓的半徑為r，
∵sin∠BQC=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{2}{2r}=\frac{1}{a}$，
∴r=a，
∴$\sqrt{{m}^{2}{+（2-3）}^{2}}=a$，
解得m=$\sqrt{{a}^{2}-1}$或m=-$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴圓的解析式是${（x+\sqrt{{a}^{2}-1}）}^{2}$+（y-2）²=a²或${（x-\sqrt{{a}^{2}-1}）}^{2}$+（y-2）²=a²．
①當(dāng)圓的解析式是${（x+\sqrt{{a}^{2}-1}）}^{2}$+（y-2）²=a²時(shí)，
令y=0，
可得x=-$\sqrt{{a}^{2}-1}$+$\sqrt{{a}^{2}-4}$或x=-$\sqrt{{a}^{2}-1}$-$\sqrt{{a}^{2}-4}$．
②當(dāng)圓的解析式是${（x-\sqrt{{a}^{2}-1}）}^{2}$+（y-2）²=a²時(shí)，
由對(duì)稱性，可得
可得x=$\sqrt{{a}^{2}-1}$+$\sqrt{{a}^{2}-4}$或x=$\sqrt{{a}^{2}-1}$-$\sqrt{{a}^{2}-4}$．
綜上，可得
x軸上存在點(diǎn)Q，使得sin∠BQC=$\frac{1}{a}$，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-$\sqrt{{a}^{2}-1}$+$\sqrt{{a}^{2}-4}$，0）、（-$\sqrt{{a}^{2}-1}$-$\sqrt{{a}^{2}-4}$，0）、（$\sqrt{{a}^{2}-1}$+$\sqrt{{a}^{2}-4}$，0）或（$\sqrt{{a}^{2}-1}$-$\sqrt{{a}^{2}-4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．
（2）此題還考查了圓周角定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．