Question

1．如圖，已知雙曲線y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0），雙曲線y₂=-$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＜0）經(jīng)過M點，且k₂=2k₁．
（1）求雙曲線y₁與y₂的解析式；
（2）若平行于x軸的直線l交雙曲線y₁于點A，交雙曲線y₂于點B，在x軸上存在兩點C、D（C點在D點的左側(cè)），使以點A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，周長等于8，求點C，D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把M坐標(biāo)代入y₂解析式求出k₂的值，確定出y₂解析式，根據(jù)k₂=2k₁，求出k₁的值，確定出y₁解析式；
（2）如圖所示，設(shè)A（a，$\frac{1}{a}$），進(jìn)而表示出B，C，D坐標(biāo)，確定出CD與AD的長，表示出矩形ABCD周長，根據(jù)周長為8求出a的值，即可確定出滿足題意C與D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把M（-2，1）代入y₂=-$\frac{{k}_{2}}{x}$，得：k₂=2，
∴k₁=1，
則y₁=$\frac{1}{x}$（x＞0），y₂=-$\frac{2}{x}$（x＜0）；
（2）設(shè)A坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{a}$），a＞0，可得D（a，0），即OD=a，AD=$\frac{1}{a}$，
把y=$\frac{1}{a}$代入y₂=-$\frac{2}{x}$中，得：x=-2a，即B（-2a，$\frac{1}{a}$），
∴C（-2a，0），即OC=2a，
∴CD=OC+OD=2a+a=3a，
∵矩形ABCD周長為8，
∴2（CD+AD）=8，即CD+AD=4，
∴3a+$\frac{1}{a}$=4，即3a²-4a+1=0，
解得：a=$\frac{1}{3}$或a=1，
當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時，C（-$\frac{2}{3}$，0），D（$\frac{1}{3}$，0）；
當(dāng)a=1時，C（-2，0），D（1，0），
綜上，C（-$\frac{2}{3}$，0），D（$\frac{1}{3}$，0）或C（-2，0），D（1，0）．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵．