Question

13．計(jì)算：1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…共計(jì)2016項(xiàng)的總和．

Answer 1

分析 記S=1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4031}{{2}^{2015}}$ ①，兩邊都乘以$\frac{1}{2}$可得$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{4029}{{2}^{2015}}$+$\frac{4031}{{2}^{2016}}$ ②，①-②后可得$\frac{1}{2}$S=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2015}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，即$\frac{1}{2}$S=1+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$）-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，再進(jìn)一步利用求和公式即可得．

解答 解：記S=1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4031}{{2}^{2015}}$ ①，
∴$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{4029}{{2}^{2015}}$+$\frac{4031}{{2}^{2016}}$ ②，
①-②，得：$\frac{1}{2}$S=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2015}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
$\frac{1}{2}$S=1+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$）-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
$\frac{1}{2}$S=1+2×$\frac{\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{2}）^{2015}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
$\frac{1}{2}$S=1+2×[1-（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵]-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
$\frac{1}{2}$S=1+2-$\frac{1}{{2}^{2014}}$-$\frac{4031}{{2}^{2016}}$，
∴S=6-$\frac{4+4031}{{2}^{2015}}$=6-$\frac{4035}{{2}^{2015}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的求和，掌握等比數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵．