Question

14．已知：如圖1所示，在菱形ABCD中，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，EF⊥BC于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若菱形的邊長為4，∠ABC=120°，求出AC的值；
（3）在第（2）問的條件下，求圖2中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，先證明OE∥BC，再由EF⊥BC，得出EF⊥OE，即可證出EF是⊙O的切線；
（2）連接BE，先由菱形的性質(zhì)得出BE⊥AC，∠BCA=∠BAC=30°，再根據(jù)三角函數(shù)求出AE，即可得出AC；
（3）作EG⊥AB于G，先求出EG，陰影部分的面積=△AOE的面積+扇形OBE的面積．

解答 （1）證明：連接OE，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠1=∠2，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥OE，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：連接BE、OE，如圖1所示：
則∠ABE=90°，
∵AB=BC=4，∠ABC=120°，
∴BE⊥AC，∠BCA=∠BAC=30°，
∴AE=AB•cos∠BAC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2AE=4$\sqrt{3}$；
（3）解：作EG⊥AB于G，如圖2所示：
則EG=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{3}$，
∵OA=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴陰影部分的面積=△AOE的面積+扇形OBE的面積=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$+$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\sqrt{3}$+$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定、菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓周角定理以及扇形面積的計算方法；熟練掌握切線的判定和菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行有關(guān)運算是解決問題的關(guān)鍵．