Question

19．如圖，直線AB：y=x-4分別與x、y交于A、B兩點，過點B的直線交x軸負半軸于C，且OA=2OC
（1）求直線BC的解析式；
（2）若直線y=kx（k＜0）分別與直線AB、BC相交于點M、N，是否存在這樣的直線MN，使得S_△OBN=2S_△OBM？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（3）若點E、F分別是直線BC、y軸上的點，其以點A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求E、F的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)直線AB：y=x-4分別與x、y交于A、B兩點，且OA=2OC，求出點A、B、C的坐標各是多少；然后應用待定系數(shù)法，求出直線BC的解析式即可．
（2）存在這樣的直線MN，使得S_△OBN=2S_△OBM．首先作MD⊥y軸交y軸于點D，作NE⊥y軸交y軸于點E，分別求出NE、MD的值各是多少；然后根據(jù)S_△OBN=2S_△OBM，可得NE=2MD，據(jù)此求出k的值是多少即可．
（3）根據(jù)題意，分三種情況：①點E在第二象限，點F在y軸的正半軸上；②點E在第四象限，點F在y軸的負半軸上；③點E在第四象限，點F在y軸的正半軸上；然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出E、F的坐標各是多少即可．

解答 解：（1）∵直線AB：y=x-4分別與x、y交于A、B兩點，
∴A（4，0）、B（0，-4），
∵OA=2OC，OA=4，
∴OC=2，點C的坐標是（-2，0），
設直線BC的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-4}\end{array}\right.$
∴直線BC的解析式是y=-2x-4．

（2）存在這樣的直線MN，使得S_△OBN=2S_△OBM．
如圖1，作MD⊥y軸交y軸于點D，作NE⊥y軸交y軸于點E，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-4}\\{y=kx}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{k+2}}\\{y=-\frac{4k}{k+2}}\end{array}\right.$．
∴點N的坐標是（-$\frac{4}{k+2}$，-$\frac{4k}{k+2}$），
∴NE=|-$\frac{4}{k+2}$|=$\frac{4}{|k+2|}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=kx}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{1-k}}\\{y=\frac{4k}{1-k}}\end{array}\right.$
∴點M的坐標是（$\frac{4}{1-k}$，$\frac{4k}{1-k}$），
∴MD=$\frac{4}{1-k}$；
∵S_△OBN=2S_△OBM，
∴NE=2MD，
即$\frac{4}{|k+2|}=2×\frac{4}{1-k}$，
∴$\frac{1}{|k+2|}=\frac{2}{1-k}$，
①當k＞-2時，
可得$\frac{1}{k+2}=\frac{2}{1-k}$，
解得k=-1．
②當k＜-2時，
可得-$\frac{1}{k+2}=\frac{2}{1-k}$，
解得k=-5．
③當k=-2時，
直線y=-2x于直線BC：y=-2x-4平行，不符合題意．
綜上，可得
存在這樣的直線MN，使得S_△OBN=2S_△OBM，此時k=-1或-5．

（3）①如圖2，AE與BF交于點G，

∵點E、F分別是直線BC、y軸上的點，
∴設點E的坐標是（a，-2a-4），點F的坐標是（0，b），
∵以點A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴點G是AE、BF的中點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+4}{2}=0}\\{\frac{-2a-4}{2}=\frac{b-4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴點E的坐標是（-4，4），點F的坐標是（0，8）．
②如圖3，AF與BE交于點G，

∵點E、F分別是直線BC、y軸上的點，
∴設點E的坐標是（c，-2c-4），點F的坐標是（0，d），
∵以點A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴點G是AF、BE的中點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{2}=\frac{4}{2}}\\{\frac{-4-2c-4}{2}=\frackcccqwa{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{d=-16}\end{array}\right.$，
∴點E的坐標是（4，-12），點F的坐標是（0，-16）．
③如圖4，AB與EF交于點G，

∵點E、F分別是直線BC、y軸上的點，
∴設點E的坐標是（e，-2e-4），點F的坐標是（0，f），
∵以點A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴點G是AB、EF的中點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{e}{2}=\frac{4}{2}}\\{\frac{f-2e-4}{2}=\frac{-4}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{e=4}\\{f=8}\end{array}\right.$，
∴點E的坐標是（4，-12），點F的坐標是（0，8）．
綜上，可得
以點A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，
①點E的坐標是（-4，4），點F的坐標是（0，8）；
②點E的坐標是（4，-12），點F的坐標是（0，-16）；
③點E的坐標是（4，-12），點F的坐標是（0，8）．

點評 （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．
（2）此題還考查了待定系數(shù)法求直線解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)和應用，要熟練掌握．