Question

7．已知，矩形ABCD中．AB=4cm，BC=8cm，對角線AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE，試證明：四邊形AFCE為菱形；
（2）求AF的長；
（3）如圖2，動點P以每秒5cm的速度自A→F→B→A運動、同時點Q以每秒4cm的速度自C→D→E→C運動，當點P到達A點時兩點同時停止運動．若運動t秒后，以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；
（2）根據(jù)勾股定理即可求AF的長；
（3）分情況討論可知，P點在BF上，Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{∠AEF=∠CFE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形．
（2）解：設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5；
（3）解：根據(jù)題意得，P點AF上時，Q點CD上，此時A，C，P，Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點AB上時，Q點DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．
∴只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，
∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，
PC=QA，
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=$\frac{4}{3}$秒．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強，解答時分析清楚動點在不同的位置所構(gòu)成的圖形形狀是解答本題的關(guān)鍵．