Question

10．如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，正方形的邊長為4，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）AE=x，BF=y．當(dāng)x取什么值時(shí)，y有最大值？并求出這個(gè)最大值；
（3）已知D、C、F、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，連接CE、DF，若sin∠CEF=$\frac{3}{5}$，求此圓直徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明△ADE∽△BEF；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到成比例相等，代入已知數(shù)據(jù)整理即可得到二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；
（3）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等和銳角三角函數(shù)的概念求出DF的長，得到答案．

解答 （1）證明：∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠BEF=90°，又∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BEF，又∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEF；
（2）解：∵△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，又AE=x，BF=y，AD=4，
∴$\frac{4}{x}$=$\frac{4-x}{y}$，
解得，y=-$\frac{1}{4}$x²+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，最大值為1；
（3）解：∵D、C、F、E四點(diǎn)共圓，
∴∠CEF=∠CDF，
∴sin∠CEF=sin∠CDF=$\frac{CF}{DF}$=$\frac{3}{5}$，又CD=4，
∴DF=5，
∵∠DCF=90°，
∴DF為此圓直徑，
∴此圓直徑為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓的知識(shí)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．