Question

12．一漁船在海島A北偏東30°方向的M處遇險，漁船將險情報告給位于A處的救援船后，沿南偏東75°方向向海島C靠近，同時，從A處出發(fā)的救援船沿北偏東60°方向以每小時40$\sqrt{2}$海里的速度勻速航行，30分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么漁船遇險M處與海島C的距離是多少海里？（$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 根據(jù)題意和特殊角的三角函數(shù)可以求得AC的長，從而可以解答本題．

解答 解：作MN⊥AC于點N，如右圖所示，
由題意可得，
∠MAC=60°-30°=30°，∠AMC=75°+30°=105°，
∴∠MCA=180°-∠MAC-∠AMC=180°-30°-105°=45°，
∵MN⊥AC，AC=40$\sqrt{2}×\frac{1}{2}=20\sqrt{2}$，
∴∠MVA=∠MNC=90°，
∴MN=NC，
設(shè)NC=a，
∴MN=a，MN=（20$\sqrt{2}-a$）•tan30°，
解得，a=$10\sqrt{6}-10\sqrt{2}$，
∴MC=$\sqrt{M{N}^{2}+N{C}^{2}}=\sqrt{2}a$=$\sqrt{2}（10\sqrt{6}-10\sqrt{2}）$=$20\sqrt{3}-20$≈20×1.7-20=14（海里），
即漁船遇險M處與海島C的距離是14海里．

點評 本題考查解直角三角形的應用-方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，畫出相應的輔助線，利用銳角三角函數(shù)解答．