Question

3．如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板．在它的三個頂點處分剮截去一個全等的四邊形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱形紙盒，使它的側(cè)面積等于底面積．求：
（1）紙盒的高．
（2）截去部分的面積與原三角形紙板面積的比．

Answer 1

分析 （1）設(shè)盒子高為xcm，則箏形的長邊為$\sqrt{3}$xcm，盒子的底邊長為（6-2$\sqrt{3}$x）cm，底面積：$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-2$\sqrt{3}$x）²cm²，側(cè)面積：3x（6-2$\sqrt{3}$x）cm²，根據(jù)側(cè)面積等于底面積，列出方程即可求解；
（2）求出當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，截去部分的面積和原三角形紙板面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)盒子高為xcm，則箏形的長邊為$\sqrt{3}$xcm，盒子的底邊長為（6-2$\sqrt{3}$x）cm，
底面積：$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-2$\sqrt{3}$x）²cm²，
側(cè)面積：3x（6-2$\sqrt{3}$x）cm²，
則$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-2$\sqrt{3}$x）²=3x（6-2$\sqrt{3}$x），
解得x₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=$\sqrt{3}$（不合題意，舍去）；
故盒子高為$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm；
（2）當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，側(cè)面積=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（6-2）=4$\sqrt{3}$cm²，
原等邊三角形面積：$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=9$\sqrt{3}$cm²，
剪去面積：9$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$cm²，
∴截去部分的面積與原三角形紙板面積的比=$\sqrt{3}$：9$\sqrt{3}$=1：9．

點評 本題考查了展開圖折疊成幾何體、等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出盒子的高．