Question

20．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，且BE=AE．求證：DC=2BD．

Answer 1

分析 連結(jié)AD．在△ABC中，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=30°．由DE是AB的垂直平分線得出AD=BD，那么∠BAD=∠B=30°，那么∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°．然后在Rt△ADC中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出DC=2AD，等量代換即可得到DC=2BD．

解答 證明：連結(jié)AD．
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=30°．
∵DE⊥AB，BE=AE，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°．
∵在Rt△ADC中，∠DAC=90°，∠C=30°，
∴DC=2AD，
∴DC=2BD．

點評 本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質(zhì)，難度適中，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．