Question

2．如圖所示，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+mx+n與直線y=$\frac{1}{2}$x-2相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x鈾，垂足為點(diǎn)C（6，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段OC上一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．若設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），線段MN的長(zhǎng)為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接MB、NC，是否存在點(diǎn)P使四邊形MNCB為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)解析式分別表示M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由MN=PM+PN或PN-PM進(jìn)行計(jì)算；
（3）存在，根據(jù)MN=BC列方程可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)x=6時(shí)，y=$\frac{1}{2}$×6-2=1，
∴B（6，1），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{x}^{2}+6m+n=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$
∴A（0，-2），
把A（0，-2），B（6，1）代入拋物線的解析式中得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}×{6}^{2}+6m+n=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-x-2；

（2）由題意得：M（t，$\frac{1}{2}$t-2），N（t，$\frac{1}{4}{t}^{2}$-t-2），
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}$x-2=0，
x=4，
∴D（4，0），
當(dāng)0≤t≤4時(shí)，如圖1，PM=2-$\frac{1}{2}$t，PN=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+t+2，
∴MN=PN-PM=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+t+2-2+$\frac{1}{2}$t=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t，
即s=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t；
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，如圖2，PM=$\frac{1}{2}$t-2，PN=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+t+2，
∴MN=PM+PN=$\frac{1}{2}$t-2-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+t+2=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t，
即s=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t；
綜上所述，s與t的函數(shù)關(guān)系式為：s=-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t；

（3）存在，如圖3，
∵PM⊥x軸，BC⊥x鈾，
∴PM∥BC，
即MN∥BC，
∴當(dāng)MN=BC時(shí)，四邊形MNCB為平行四邊形，
即-$\frac{1}{4}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t=1；
解得：t=3$±\sqrt{5}$，
∴P（3+$\sqrt{5}$，0）或（3-$\sqrt{5}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、平行四邊形的判定，在函數(shù)的綜合題中常利用函數(shù)的解析式表示線段的長(zhǎng)，本題也是如此，但要注意坐標(biāo)與圖形特點(diǎn)．