Question

12．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，若BP=$\sqrt{3}$，CP=$\sqrt{30}$，∠BPA=135°，則正方形ABCD的邊長為$\sqrt{39}$．

Answer 1

分析 將△ABP繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△BCQ的位置，連接PQ；先求出PQ的長，再求出∠PQC=90°，利用勾股定理求出QC的長，最后利用勾股定理求出BC的長．

解答 解：如圖，將△ABP繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，
到△BCQ的位置，連接PQ；
則BQ=BP=$\sqrt{3}$，∠BQC=∠BPA=135°，
則△PBQ是等腰直角三角形，
即PQ=$\sqrt{6}$，
故∠BQP=∠BPQ=45°，∠PQC=135°-45°=90°；
由勾股定理得：QC=$\sqrt{P{C}^{2}-P{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{30}）^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
在△BQC中，∠BQC=135°，BQ=$\sqrt{3}$，CQ=2$\sqrt{6}$，
過B作BH垂直CQ，交CQ的延長線于H；則CH=CQ+QH，BH=HQ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
解得：BC=$\sqrt{B{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{39}$，
故答案為$\sqrt{39}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．