Question

2．已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，OD∥BC交⊙O于點D，交AC于點E，連接AD、BD，BD交AC于點F．
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）延長AC到點P，使PF=PB，求證：PB是⊙O的切線；
（3）如果AB=10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，求AD．

Answer 1

分析 （1）先由OD∥BC，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根據(jù)等邊對等角得出∠D=∠OBD，等量代換得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；
（2）先由圓周角定理得出∠ACB=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根據(jù)等邊對等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代換得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根據(jù)切線的判定定理得出PB是⊙O的切線；
（3）連結(jié)AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BC}{10}$=$\frac{3}{5}$，求出BC=6，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°-∠ACB=90°，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD-OE=2，然后在Rt△ADE中根據(jù)勾股定理求出AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

解答 （1）證明：∵OD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD，
∴∠CBD=∠OBD，
∴BD平分∠ABC；

（2）證明：∵⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，
∴∠ACB=90°，
∴∠CFB+∠CBF=90°．
∵PF=PB，
∴∠PBF=∠CFB，
由（1）知∠OBD=∠CBF，
∴∠PBF+∠OBD=90°，
∴∠OBP=90°，
∴PB是⊙O的切線；

（3）解：連結(jié)AD．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，
∴cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BC}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴BC=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8．
∵OD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°-∠ACB=90°，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，$\frac{AE}{8}$=$\frac{OE}{6}$=$\frac{5}{10}$，
∴AE=4，OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題是圓的綜合題，其中涉及到平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)、切線的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度適中．本題中第（2）問要證某線是圓的切線，當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線是常用的方法，需熟練掌握．