Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB上某一點O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過點A和點D．
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半徑；
②設⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)平行線判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）①根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，從而求得半徑r的值；②根據(jù)S_陰影=S_△BOD-S_扇形DOE求得即可．

解答 解：（1）直線BC與⊙O相切；
連結OD，∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
即OD⊥BC．
又∵直線BC過半徑OD的外端，
∴直線BC與⊙O相切．
（2）設OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，
∴OB=2r，
在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴AB=2AC=6，
∴3r=6，解得r=2．
（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°．
∴$S_{扇形ODE}^{\;}=\frac{{60π•{2^2}}}{360}=\frac{2}{3}π$．
∵∠B=30°，OD⊥BC，
∴OB=2OD，
∴AB=3OD，
∵AB=2AC=6，
∴OD=2，BD=2$\sqrt{3}$
S_△BOD=$\frac{1}{2}$×OD•BD=2$\sqrt{3}$，
∴所求圖形面積為$S_{△BOD}^{\;}-S_{扇形ODE}^{\;}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$．

點評 本題考查了切線的判定，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積等知識點的應用，主要考查學生的推理能力．